Álgebra

1. Desigualdades Clássicas

2. Desigualdades Não Triviais

3. Equações Funcionais

4. Polinômios

5. Conjuntos

1. Desigualdades Clássicas

1.1 Desigualdade das Médias

Dados os $n$ números naturais $x_{1},x_{2}, \ldots , x_{n}$ então é válido que
\[ \frac{x_{1}+x_{2}+ \ldots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}} \]

Demonstração: Para $n=2$, queremos mostrar que
\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]
sendo verdade se, e somente se, $(\sqrt{a}-\sqrt{b} )^{2} \geq 0 $. Logo $n=2$ ok.
Primeiramente faremos para $n=4$. Ora, sabemos que
\[ \frac{\frac{a+b}{2} + \frac{c+d}{2}}{2}  \geq \sqrt{\frac{a+b}{2}\frac{c+d}{2}} \]
é válidos para os naturais $a,b,c,d$. Assim,


Problema 1 (OBM/2001) Prove que
\[(a+b)(a+c) \geq 2\sqrt{abc(a+b+c)}\]
para quaisquer números reais $a$, $b$ e $c$.

Solução: Temos
\[ (a+b)(a+c)=a(a+b+c)+bc \geq 2\sqrt{abc(a+b+c)}  \]

1.2 Desigualdade de Cauchy-Swcharz

Sejam $a_{1},\ldots, a_{n}$ e $b_{1},\ldots ,b_{n}$ números reais, com $n\geq 1$. Então a desigualdade de $Cauchy$ nos garante que:
\[ ( a_{1}^{2}+\ldots +a_{1}^{2} )( ( b_{1}^{2}+\ldots +b_{1}^{2} ) \geq (a_{1}b_{1}+\ldots a_{n}b_{n})^{2} \]

Demonstração: Considere a função $f:\mathbb{R}\longmapsto \mathbb{R}$, definida como

\[ f(x) = \sum_{k=1}^{n}(a_{k}x - b_{k})^{2} = x^{2}\left( \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2} \right) -2x\left( \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k} \right) + \sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2} \]

Ora, como $f$ é sempre não negativa, já que trata-se de soma de quadrados, então o $\Delta$ da equação do segundo grau em $x$ deve ser não-positivo. Logo,

\[ \Delta = 4\left( \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k} \right)^{2} - 4\left( \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2} \right)\left( \sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right) \leq 0 \]

o que conclui nossa demonstração. A igualdade é alcançada quando cada parcela da equação de cauchy é zero, o que nos dá

\[ \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \ldots = \frac{a_{n}}{b_{n}} \]